当 Android SDK Manager 更新失败时，你可以尝试以下方法来解决问题：
检查网络连接：确保你的设备已连接到互联网。如果你在使用代理服务器，请检查代理设置是否正确。
重启 Android Studio：关闭 Android Studio，然后重新启动它。这将有助于解决一些潜在的问题。
清除 SDK Manager 缓存：在 Android Studio 中，依次点击菜单栏的 Tools > SDK Manager > SDK Tools，勾选 Show Package Details，然后找到并取消勾选 Android SDK Location。点击 Apply，然后重启 Android Studio。这将清除 SDK Manager 的缓存。
检查 SDK 版本：确保你正在尝试安装的 SDK 版本与你的设备和系统兼容。你可以在 SDK Manager 中查看可用的 SDK 版本。
手动下载 SDK：如果上述方法都无法解决问题，你可以尝试从 Android 开发者官方网站手动下载 SDK：https://developer.android.com/studio#downloads
下载完成后，将 SDK 文件解压并将其路径添加到系统环境变量 ANDROID_HOME 中。
检查防火墙和安全软件：确保你的防火墙或安全软件没有阻止 Android SDK Manager 的访问。你可能需要将 Android SDK Manager 添加到防火墙的白名单中。
更新 Android Studio 和 SDK Tools：确保你正在使用的 Android Studio 和 SDK Tools 是最新版本。你可以在 SDK Manager 中查看可用的更新。
检查错误日志：如果上述方法都无法解决问题，你可以查看 Android Studio 的错误日志以获取更多详细信息。错误日志通常位于 ~/.android/system/logs（Linux）或 %USERPROFILE%\.android\system\logs（Windows）目录下。你可以使用文本编辑器打开这些文件并查找与 SDK Manager 更新失败相关的错误信息。这将帮助你更好地了解问题所在并找到解决方案。
