海明码的理解计算

海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以它也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太网中，因为如果信道特性不好的情况下，出现的错误通常不是一位。

海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位进行奇偶性测试，然后产生多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后通过对错误位取反（原来是1就变成0，原来是0就变成1）来将其纠正。

根据海明码的纠错原理，得出了：

                              m+k+1<=2^K

    其中：m表示有效的信息位数；k表示用于纠错的位数。满足了上面的公式，才能进行纠错。

    举例说明，假设有一组信息码为：1101 0111 0，如何计算海明码？

一、确定纠错用的冗余位数

    M=9，那么，9+k+1<=2^k，由此得出k=4，也就是说要在原始有效信息位填充4bit二进位。

二、冗余填充位的计算

    4个bit的冗余位按照海明码的原理要填充在2ⁿ位上，即1、2、4、8……位上。由此得出如下的表格

将信息位与冗余位间的关系整理成一张表格如下。

由此得出：

第1个冗余位由3、5、7、9、11、13参与校验

第2个冗余位由3、6、7、10、11参与校验

第4个冗余位由5、6、7、12、13参与校验

第8个冗余位由9、10、11、12、13参与校验

如果全部按偶校验计算得出如下图结果：

可以这样理解：

第1bit位：B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=0⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕0=0

第2bit位：B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11 =0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1=0

第4bit位：B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13 =1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕0=0

第8bit位：B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13 =1⊕0⊕1⊕1⊕1⊕0=0

我们称上面的4个式子为监督关系式。

也就是说，校验与原有的信息做异或运算按偶校验计算得出的结果全部是0 。

因此，这4个bit的冗余位是：0011

三、信息校验

假设有一位数据出错了，我们这里假设是第10位在传输过程中由1变成了0，出错了，这样上面的4个监督关系式就会发生变化，变成如下：

第1bit位：B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=0⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕0=0

第2bit位：B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11 =0⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1=1

第4bit位：B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13 =1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕0=0

第8bit位：B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13 =1⊕0⊕0⊕1⊕1⊕0=1

由此可以看出，1和4式没有错，而2和8出现了错误，由此B3、B6、B7、B10、B11、B9、B12、B13可能是出错位，但是从1和4位可以看出正确的位是：B3、B5、B7、B9、B11、B13、B6、B12，从可能出错的位中把正确的去掉，就剩下了B3、B6、B7、B10、B11、B9、B12、B13（红色字是去掉的位），这样就仅剩下第10位了，这样我们把10进行反转就得到了正确的信息了。

更简单的方法是由高位往低位写（即由第8位写到第一位）结果是1010，转换为10进制数为10，就是第10位出错了

有这样一道题：

使用海明码进行前向纠错，如果冗余为4位，那么信息位最多可以用到多少位？假定码字位a6  a5  a4  a3  a2  a1  a0,并且有下面的监督关系式：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

若S2S1S0=110，则表示出错位是哪一位？

答案：可以用到11位；a5位出错

写得不好，请指教！！！！