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图的存储之邻接矩阵

发布时间:2020-07-03 00:51:52 来源:网络 阅读:798 作者:汇天下豪杰 栏目:编程语言

1、图

  (1)、图是一种非线性结构;主要由顶点和边构成;

  (2)、<> 代表有向图,( )代表无向图

  (3)、无向图有N个顶点时,最多有N*(N-1)/2条边;有向图最多有N*(N-1)条边;

  (4)、权:边上具有相关的数,带权图叫做网络;

  (5)、邻接顶点: 与其接触边上的顶点;

  (6)、度:与顶点V关联的边数;有向图中度 = 出度 + 入度;

  (7)、简单路径:路径上各顶点互不重复,

  (8)、回路/环:路径上第一个顶点与最后一个顶点重合;

  (9)、连通图/强连通图:各顶点之间有边联系,有向图,双路径存在叫做强连通图;

  (10)、生成树:是无向连通图的极小连通子图,若有N个顶点,则生成树由N-1条边构成!

2、图的邻接矩阵

  (1)、邻接矩阵模型如下:

图的存储之邻接矩阵

  就是将图的多对多的非线性结构用矩阵的方式表示;

  我们必须知道:

  (1)、会由矩阵来恢复图;

  (2)、第一个邻接顶点:从列开始处,第一个边

  (3)、下一个邻接顶点:给2个参数,第一个参数表示是谁的下一个邻接顶点,第二个表示从当前顶点开始其后的第一条边;

  (4)、其顶点存放在数组空间中;

  (5)、顶点之间的关系通过矩阵来表示边;

存储结构:

    int maxVertices;  //最大顶点数
    int curVertices;  //当前顶点数
    int curEdges;  //当前边数
                                //用的是C++的继承
    Type *vertexList;  //存放顶点的数组
    int **edge;  //存放顶点关系的矩阵用边表示

存储模型如下:

图的存储之邻接矩阵

3、图的实现方法

  均用C++实现;并且父类给了接口,子类继承实现即可;方便对不同的存储结构的编写;

  核心方法,删除顶点:

  (1)、第一种方法实现:

bool removeVertex(const Type &v){
    int i = getVertexIndex(v);
    if(i == -1){
        return false;
    }
    for(int k = i; k < curVertices-1; ++k){
        vertexList[k] = vertexList[k+1];
    }

    int edgeCount = 0;
    for(int j = 0; j < curVertices; ++j){
        if(edge[i][j] != 0)
            edgeCount++;
    }
    //删除行
    for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
    {
        for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
        {
            edge[k][j] = edge[k+1][j];
        }
    }
    //删除列
    for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
    {
        for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
        {
            edge[j][k] = edge[j][k+1];
        }
    }

    curVertices--;
    curEdges -= edgeCount;

    return true;
}

  以上存在数组的大量移动,效率太低; 

  (2)、第二种方法的实现:

bool removeVertex(const Type &v){
    int i = getVertexIndex(v);
    if(i == -1){
        return false;
    }
    vertexList[i] = vertexList[curVertices-1];
    int edgeCount = 0;
    for(int k = 0; k < curVertices; k++){
        if(edge[i][k] != 0){  //统计删除该行的边数
            edgeCount++;
        }
    }
    //删除行
    for(int j = 0; j < curVertices; j++){
        edge[i][j] = edge[curVertices-1][j];
    }
    //删除列
    for(j = 0; j < curVertices; j++){
        edge[j][i] = edge[j][curVertices-1];
    }
    curVertices--;
    curEdges -= edgeCount;
    return true;
}

  第二种方法甚好,将要删除的顶点(连边一起删除),用最后一个元素(行/列)去覆盖删除的那个即可,之间的关系不变,但是就避免了大量移动,一次覆盖就好,效率极大!!!

模型如下:

图的存储之邻接矩阵

4、图的方法实现完整代码、测试代码、测试结果

  (1)、完整代码(用的是继承,方便写其它的存储结构代码):

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include<iostream>
using namespace std;

#define VERTEX_DEFAULT_SIZE        10

template<typename Type>    
class Graph{
public:
    bool isEmpty()const{
        return curVertices == 0;
    }
    bool isFull()const{
        if(curVertices >= maxVertices || curEdges >= curVertices*(curVertices-1)/2)
            return true;  //图满有2种情况:(1)、当前顶点数超过了最大顶点数,存放顶点的空间已满
        return false;     //(2)、当前顶点数并没有满,但是当前顶点所能达到的边数已满
    }
    int getCurVertex()const{
        return curVertices;
    }
    int getCurEdge()const{
        return curEdges;
    }
public:
    virtual bool insertVertex(const Type &v) = 0;  //插入顶点
    virtual bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2) = 0; //插入边
    virtual bool removeVertex(const Type &v) = 0;  //删除顶点
    virtual bool removeEdge(const Type &v1, const Type &v2) = 0; //删除边
    virtual int getFirstNeighbor(const Type &v) = 0; //得到第一个相邻顶点
    virtual int getNextNeighbor(const Type &v, const Type &w) = 0; //得到下一个相邻顶点
public:
    virtual int getVertexIndex(const Type &v)const = 0; //得到顶点下标
    virtual void showGraph()const = 0;  //显示图
protected:
    int maxVertices;  //最大顶点数
    int curVertices;  //当前顶点数
    int curEdges;  //当前边数
};

template<typename Type>
class GraphMtx : public Graph<Type>{ //邻接矩阵继承父类矩阵
#define maxVertices  Graph<Type>::maxVertices  //因为是模板,所以用父类的数据或方法都得加上作用域限定符
#define curVertices  Graph<Type>::curVertices
#define curEdges     Graph<Type>::curEdges
public:
    GraphMtx(int vertexSize = VERTEX_DEFAULT_SIZE){  //初始化邻接矩阵
        maxVertices = vertexSize > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? vertexSize : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申请顶点空间
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化为0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申请边的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申请列空间
            edge[i] = new int[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //赋初值为0 
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                edge[i][j] = 0;
            }
        }
        curVertices = curEdges = 0; //当前顶点和当前边数
    }
    GraphMtx(Type (*mt)[4], int sz){  //通过已有矩阵的初始化
        int e = 0; //统计边数
        maxVertices = sz > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? sz : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申请顶点空间
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化为0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申请边的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申请列空间
            edge[i] = new Type[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //赋初值为矩阵当中的值
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                edge[i][j] = mt[i][j];
                if(edge[i][j] != 0){
                    e++; //统计列的边数
                }
            }
        }
        curVertices = sz;
        curEdges = e/2;
    }
    ~GraphMtx(){}
public:
    bool insertVertex(const Type &v){
        if(curVertices >= maxVertices){
            return false;
        }
        vertexList[curVertices++] = v;
        return true;
    }
    bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2){
        int maxEdges = curVertices*(curVertices-1)/2;
        if(curEdges >= maxEdges){
            return false;
        }

        int v = getVertexIndex(v1);
        int w = getVertexIndex(v2);

        if(v==-1 || w==-1){
            cout<<"edge no exit"<<endl; //要插入的顶点不存在,无法插入
            return false;
        }
        if(edge[v][w] != 0){  //当前边已经存在,不能进行插入
            return false;
        }

        edge[v][w] = edge[w][v] = 1; //因为是无向图,对称的,存在边赋为1;
        return true; 
    }  //删除顶点的高效方法
    bool removeVertex(const Type &v){
        int i = getVertexIndex(v);
        if(i == -1){
            return false;
        }
        vertexList[i] = vertexList[curVertices-1];
        int edgeCount = 0;
        for(int k = 0; k < curVertices; k++){
            if(edge[i][k] != 0){  //统计删除该行的边数
                edgeCount++;
            }
        }
        //删除行
        for(int j = 0; j < curVertices; j++){
            edge[i][j] = edge[curVertices-1][j];
        }
        //删除列
        for(j = 0; j < curVertices; j++){
            edge[j][i] = edge[j][curVertices-1];
        }
        curVertices--;
        curEdges -= edgeCount;
        return true;
    }
/*  //删除顶点用的是数组一个一个移动的方法,效率太低。
    bool removeVertex(const Type &v){
        int i = getVertexIndex(v);
        if(i == -1){
            return false;
        }
        for(int k = i; k < curVertices-1; ++k){
            vertexList[k] = vertexList[k+1];
        }

        int edgeCount = 0;
        for(int j = 0; j < curVertices; ++j){
            if(edge[i][j] != 0)
                edgeCount++;
        }

        for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
        {
            for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
            {
                edge[k][j] = edge[k+1][j];
            }
        }

        for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
        {
            for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
            {
                edge[j][k] = edge[j][k+1];
            }
        }

        curVertices--;
        curEdges -= edgeCount;

        return true;
    }        
*/
    bool removeEdge(const Type &v1, const Type &v2){
        int v = getVertexIndex(v1);
        int w = getVertexIndex(v2);

        if(v==-1 || w==-1){  //判断要删除的边是否在当前顶点内
            return false;  //顶点不存在
        }
        if(edge[v][w] == 0){ //这个边根本不存在,没有必要删
            return false;
        }
        edge[v][w] = edge[w][v] = 0; //删除这个边赋值为0,代表不存在;
        curEdges--;

        return true;
    }
    int getFirstNeighbor(const Type &v){
        int i = getVertexIndex(v);
        if(i == -1){
            return -1;
        }
        for(int col = 0; col < curVertices; col++){
            if(edge[i][col] != 0){
                return col;
            }
        }
        return -1;
    }
    int getNextNeighbor(const Type &v, const Type &w){
        int i = getVertexIndex(v);
        int j = getVertexIndex(w);

        if(i==-1 || j==-1){
            return -1;
        }
        for(int col = j+1; col < curVertices; col++){
            if(edge[i][col] != 0){
                return col;
            }
        }

        return -1;
    }
public:
    void showGraph()const{
        if(curVertices == 0){
            cout<<"Nul Graph"<<endl;
            return;
        }

        for(int i = 0; i < curVertices; i++){
            cout<<vertexList[i]<<"  "; 
        }
        cout<<endl;
        for(i = 0; i < curVertices; i++){
            for(int j = 0; j < curVertices; j++){
                cout<<edge[i][j]<<"  ";
            }
            cout<<vertexList[i]<<endl;
        }
    }
    int getVertexIndex(const Type &v)const{
        for(int i = 0; i < curVertices; i++){
            if(vertexList[i] == v){
                return i;
            }
        }

        return -1;
    }
private:
    Type *vertexList;  //存放顶点的数组
    int **edge;  //存放顶点关系的矩阵用边表示
};

#endif

  (2)、测试代码:

#include"Graph.h"

#define VERTEX_SIZE        4

int main(void){
    GraphMtx<char> gm;

    gm.insertVertex('A'); //插入顶点
    gm.insertVertex('B');
    gm.insertVertex('C');
    gm.insertVertex('D');

    gm.insertEdge('A','B'); //插入边
    gm.insertEdge('A','D');
    gm.insertEdge('B','C');
    gm.insertEdge('C','D');

    cout<<gm.getFirstNeighbor('A')<<endl; //B
    cout<<gm.getNextNeighbor('A','B')<<endl;//D
    gm.showGraph();
    gm.removeEdge('A','B');
    gm.removeVertex('B');
    cout<<"-----------------------------------------------------------------"<<endl;
    gm.showGraph();


/*  用矩阵关系直接初始化图,没啥意思
    int mtx[VERTEX_SIZE][VERTEX_SIZE] = {
                                            {0, 1, 0, 1},
                                            {1, 0, 1, 0},
                                            {0, 1, 0, 1},
                                            {1, 0, 1, 0},  
    };
    GraphMtx<int> gm(mtx, VERTEX_SIZE);
    gm.showGraph();
*/
    return 0;
}

  (3)测试结果:

测试的图:

图的存储之邻接矩阵


图的存储之邻接矩阵





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