我们在前面学习了排序相关的知识,从今天开始,我们来学习数据结构中树的相关东西。那么什么是树呢?树是一种非线性的数据结构。
树是由 n( n >= 0 ) 个结点组成的有限集合。如果 n= 0,称为空树;如果 n > 0,则:a> 有一个特定的称之为根(root)的结点;b> 根结点只有直接后继,但没有直接前驱;c> 除根以外的其它结点划分为 m( m >= 0 ) 个互不相交的有限集合T0, T1, … Tm-1,每个集合又是一棵树,并且称之为根的子树(sub tree)。下来我们来看看树的示意图,如下所示
下来我们来看一个树中度的概念。它是指树中的结点包含一个数据及若干指向子树的分支,及诶单拥有子树的数目称为结点的度。度为 0 的结点称为叶结点,度不为 0 的结点称为分支节点。树的度定义为所有节点中度的最大值。下来来看一个数的度为 3 的示例,如下图所示
下来来介绍下树中的前驱和后继。结点的直接后继称为该结点的孩子,相应的,该结点称为孩子的双亲;结点的孩子的孩子的 ... 称为该结点的子孙,相应的,该结点称为子孙的祖先;同一个双亲的孩子之间互称兄弟。下来来看看树的前驱和后继的结构示意图
我们来看看树中结点的层次,如下图所示
树也有有序性,什么叫树的有序性呢?如果树中结点的各子树从左向右是有次序的,子树间不能互换位置,则称该树为有序树,否则为无序树。示意图如下图所示
那么既然有树的概念,就肯定有森林的概念。森林是由 n( n >= 0 ) 棵互不相交的树组成的集合。那么在树中肯定也有一些常用的操作,如下
1、将元素插入树中;
2、将元素从树中删除;
3、获取树的结点数;
4、获取树的高度;
5、获取树的度;
6、清空树中的元素;
7、 ......
树与结点的类关系可以如下表示
那么我们下来来看看那树和结点抽象类的具体源码是怎样写的
Tree.h 源码
#ifndef TREE_H #define TREE_H #include "TreeNode.h" #include "SharedPointer.h" namespace DTLib { template < typename T > class Tree : public Object { protected: TreeNode<T>* m_root; public: Tree() { m_root = NULL; } virtual bool ×××ert(TreeNode<T>* node) = 0; virtual bool ×××ert(const T& value, TreeNode<T>* parent) = 0; virtual SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value) = 0; virtual SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node) = 0; virtual TreeNode<T>* find(const T& value) const = 0; virtual TreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const = 0; virtual TreeNode<T>* root() const = 0; virtual int degree() const = 0; virtual int count() const = 0; virtual int height() const = 0; virtual void clear() = 0; }; } #endif // TREE_H
TreeNode.h 源码
#ifndef TREENODE_H #define TREENODE_H #include "Object.h" namespace DTLib { template < typename T > class TreeNode : public Object { public: T value; TreeNode<T>* parent; TreeNode() { parent = NULL; } virtual ~TreeNode() = 0; }; template < typename T > TreeNode<T>::~TreeNode() { } } #endif // TREENODE_H
下来我们来看看树和结点的存储结构是怎么设计的,结构图如下
设计要点:1、GTree 为通用的树结构,每个结点可以存在多个后继结点;2、GTreeNode 能够包含任意多指向后继结点的指针;3、实现树结构的所有操作(增,删,查,等)。
GTree(通用树结构)的实现框架如下图所示
我们来看看通用树结构(框架)是怎样创建的,源码如下
GTree.h 源码
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { public: bool ×××ert(TreeNode<T>* node) { bool ret = true; return ret; } bool ×××ert(const T& value, TreeNode<T>* parent) { bool ret = true; return ret; } SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value) { return NULL; } SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node) { return NULL; } GTreeNode<T>* find(const T& value) const { return NULL; } GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const { return NULL; } GTreeNode<T>* root() const { return dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(this->m_root); } int degree() const { return 0; } int count() const { return 0; } int height() const { return 0; } void clear() { this->m_root = NULL; } ~GTree() { clear(); } }; } #endif // GTREE_H
GTreeNode.h 源码
#ifndef GTREENODE_H #define GTREENODE_H #include "Tree.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTreeNode : public TreeNode<T> { public: LinkList<GTreeNode<T>*> child; }; } #endif // GTREENODE_H
我们在树的设计中,为什么要在每个树节点中包含指向前驱结点的指针呢?从根结点到叶结点是非线性的数据结构,但是从叶结点到根结点是线性的数据结构(链表),结果如下
下来我们就来一一的实现上面的查找、插入等操作
1、查找操作
查找的方式应分为两种:a> 基于数据元素值的查找:GTreeNode<T>* find(const T& value) const;b> 基于结点的查找:GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const。
a> 基于数据元素值的查找,我们先在 protected 属性中定义 find(node, value) 功能,在 node 为根结点的树中查找 value 所在的结点,实现思路如下
b> 基于结点的查找,还是在 protected 属性中定义 find(node, obj) 功能,在 node 为根结点的树中查找是否存在 obj 结点,实现思路如下
具体查找相关源码实现如下
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { protected: GTreeNode<T>* find(GTreeNode<T>* node, const T& value) const { GTreeNode<T>* ret = NULL; if( node != NULL ) { if( node->value == value ) { return node; } else { for(node->child.move(0); !node->child.end() && (ret == NULL); node->child.next()) { ret = find(node->child.current(), value); } } } return ret; } GTreeNode<T>* find(GTreeNode<T>* node, GTreeNode<T>* obj) const { GTreeNode<T>* ret = NULL; if( node == obj ) { return node; } else { if( node != NULL ) { for(node->child.move(0); !node->child.end() && (ret == NULL); node->child.next()) { ret = find(node->child.current(), obj); } } } return ret; } public: GTreeNode<T>* find(const T& value) const { return find(root(), value); } GTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const { return find(root(), dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node)); } GTreeNode<T>* root() const { return dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(this->m_root); } }; } #endif // GTREE_H
2、插入操作
插入的方式应分为两种:a> 插入新结点:bool ×××ert(TreeNode<T>* node);b> 插入数据元素:bool ×××ert(const T& value, TreeNode<T>* parent)。
那么如何在树中指定新结点的位置呢?问题分析:a> 树是非线性的,无法采用下标的形式定位数据元素;b> 每一个树结点都有唯一的前驱结点(父结点);c> 因此,必须先找到前驱节点,才能完成新结点的插入。
a> 新结点的插入,如下图所示
插入新结点的流程如下图所示
b> 插入数据元素,流程如下图所示
下来我们来看看具体源码是怎么实现的
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" #include "Exception.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { public: bool ×××ert(TreeNode<T>* node) { bool ret = true; if( node != NULL ) { if( this->m_root == NULL ) { node->parent = NULL; this->m_root = node; } else { GTreeNode<T>* np = find(node->parent); if( np != NULL ) { GTreeNode<T>* n = dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node); if( np->child.find(n) < 0 ) { np->child.×××ert(n); } } else { THROW_EXCEPTION(INvalidOPerationException, "Invalid parent tree node ..."); } } } else { THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parement node cannot be NULL ..."); } return ret; } bool ×××ert(const T& value, TreeNode<T>* parent) { bool ret = true; GTreeNode<T>* node = GTreeNode<T>::NewNode(); if( node != NULL ) { node->value = value; node->parent = parent; ×××ert(node); } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No memory to create new tree node ..."); } return ret; } }; } #endif // GTREE_H
我们来写点测试代码,看看前面实现的查找和插入代码是否正确
#include <iostream> #include "GTree.h" using namespace std; using namespace DTLib; int main() { GTree<char> t; GTreeNode<char>* node = NULL; t.×××ert('A', NULL); node = t.find('A'); t.×××ert('B', node); t.×××ert('C', node); t.×××ert('D', node); node = t.find('B'); t.×××ert('E', node); t.×××ert('F', node); node = t.find('E'); t.×××ert('K', node); t.×××ert('L', node); node = t.find('C'); t.×××ert('G', node); node = t.find('G'); t.×××ert('N', node); node = t.find('D'); t.×××ert('H', node); t.×××ert('I', node); t.×××ert('J', node); node = t.find('H'); t.×××ert('M', node); const char* s = "KLFNMIJ"; for(int i=0; i<7; i++) { TreeNode<char>* node = t.find(s[i]); while( node != NULL ) { cout << node->value << " "; node = node->parent; } cout << endl; } return 0; }
运行结果如下
我们看到已经实现了之前定义的树结构。
3、清除操作
a> 定义:void clear();将树中的所有结点清除(释放堆中的结点),树中数据元素的清除如下所示
b> free(node);清除 node 为根结点的树,释放树中的每一个结点,实现思路如下
具体源码实现如下
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { protected: void free(GTreeNode<T>* node) const { if( node != NULL ) { for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { free(node->child.current()); } delete node; } } public: void clear() { free(root()); this->m_root = NULL; m_queue.clear(); } ~GTree() { clear(); } }; } #endif // GTREE_H
测试代码如下
#include <iostream> #include "GTree.h" using namespace std; using namespace DTLib; int main() { GTree<char> t; GTreeNode<char>* node = NULL; GTreeNode<char> root; root.value = 'A'; root.parent = NULL; t.×××ert(&root); node = t.find('A'); t.×××ert('B', node); t.×××ert('C', node); t.×××ert('D', node); node = t.find('B'); t.×××ert('E', node); t.×××ert('F', node); node = t.find('E'); t.×××ert('K', node); t.×××ert('L', node); node = t.find('C'); t.×××ert('G', node); node = t.find('G'); t.×××ert('N', node); node = t.find('D'); t.×××ert('H', node); t.×××ert('I', node); t.×××ert('J', node); node = t.find('H'); t.×××ert('M', node); t.clear(); const char* s = "KLFNMIJ"; for(int i=0; i<7; i++) { TreeNode<char>* node = t.find(s[i]); while( node != NULL ) { cout << node->value << " "; node = node->parent; } cout << endl; } return 0; }
我们来看看结果
我们看到已经清空了树。但是此时存在一个问题,那便是我们在 main 函数中是在堆上值指定的数据元素,上面的清除操作也会将这个堆中的数据元素删除掉。这必然会导致问题,那么对于树中的结点来源于不同的存储空间的话,此时我们应如何判断堆空间中的结点并释放?问题分析:单凭内存地址很难准确判断具体的存储区域,只有堆空间的内存需要主动释放(delete),清除操作时只需要对堆中的结点进行释放。
此时的解决方案:工厂模式。
i. 在 GTreeNode 中增加保护成员变量 m_flag;
ii. 将 GTreeNode 中的 operator new 重载为保护成员函数;
iii. 提供工厂方法 GTreeNode<T>* NewNode();
iv. 在工厂方法中 new 新结点并将 m_flag 设置为 true。
树结点的工厂模式示例如下
我们来看看具体的源码实现
#ifndef GTREENODE_H #define GTREENODE_H #include "Tree.h" #include "LinkList.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTreeNode : public TreeNode<T> { protected: bool m_flag; GTreeNode(const GTreeNode<T>&); GTreeNode<T>* operator = (const GTreeNode<T>&); void* operator new(unsigned int size) throw() { return Object::operator new(size); } public: LinkList<GTreeNode<T>*> child; GTreeNode() { m_flag = false; } bool flag() { return m_flag; } static GTreeNode<T>* NewNode() { GTreeNode<T>* ret = new GTreeNode<T>(); if( ret != NULL ) { ret->m_flag = true; } return ret; } }; } #endif // GTREENODE_H
在上面的 delete node 操作时外面进行 node->flag() 的判断,如果为 true,我们再来进行删除。为例方便的进行说明,我们在这块加个调试语句,再来一个 else 语句,里面打印出不同存储区域的数据元素,我们来看看结果
我们看到此时除了我们自己在堆上指定的 A 之外,剩下的数据元素已经全部被清除掉。
4、删除操作
删除的方式也分为两种:a> 基于数据元素值的删除:SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value);b> 基于结点的删除:SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node);
删除操作成员函数的设计要点:1、将被删结点所代表的子树进行删除;2、删除函数返回一颗堆空间的树;3、具体返回值为指向树的只能指针对象。树中结点的删除示意如下图所示
如果当我们需要从函数中返回堆中的对象时,使用智能指针(SharedPointer)作为函数的返回值。删除操作功能的定义:void remove(GTreeNode<T>* node, GTree<T>*& ret);将 node 为根结点的子树从原来的树中删除,ret 作为子树返回(ret 指向堆空间中的树对象)。删除功能函数的实现思路如下
具体源码实现如下
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" #include "Exception.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { protected: void remove(GTreeNode<T>* node, GTree<T>*& ret) { ret = new GTree(); if( ret != NULL ) { if( root() == node ) { this->m_root = NULL; } else { LinkList<GTreeNode<T>*>& child = dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node->parent)->child; child.remove(child.find(node)); node->parent = NULL; } ret->m_root = node; } else { THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "No memory to create new tree ..."); } } public: SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value) { GTree<T>* ret = NULL; GTreeNode<T>* node = find(value); if( node != NULL ) { remove(node, ret); m_queue.clear(); } else { THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Can not find the node via parament value ..."); } return ret; } SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node) { GTree<T>* ret = NULL; node = find(node); if( node != NULL ) { remove(dynamic_cast<GTreeNode<T>*>(node), ret); m_queue.clear(); } else { THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "Parament node is invalid ..."); } return ret; } }; } #endif // GTREE_H
我们来写点测试代码,删除子树 D,测试代码如下
#include <iostream> #include "GTree.h" using namespace std; using namespace DTLib; int main() { GTree<char> t; GTreeNode<char>* node = NULL; GTreeNode<char> root; root.value = 'A'; root.parent = NULL; t.×××ert(&root); node = t.find('A'); t.×××ert('B', node); t.×××ert('C', node); t.×××ert('D', node); node = t.find('B'); t.×××ert('E', node); t.×××ert('F', node); node = t.find('E'); t.×××ert('K', node); t.×××ert('L', node); node = t.find('C'); t.×××ert('G', node); node = t.find('G'); t.×××ert('N', node); node = t.find('D'); t.×××ert('H', node); t.×××ert('I', node); t.×××ert('J', node); node = t.find('H'); t.×××ert('M', node); //SharedPointer< Tree<char> > p = t.remove(t.find('D')); t.remove(t.find('D')); const char* s = "KLFNMIJ"; for(int i=0; i<7; i++) { TreeNode<char>* node = t.find(s[i]); while( node != NULL ) { cout << node->value << " "; node = node->parent; } cout << endl; } return 0; }
我们来看看运行结果
我们看到子树 D 已经被删除了,如果我们想用这个删除的子树 D,该如何做呢?将上面的测试代码中的注释的那行放开,将下面的 remove 注释掉,再将下面 for 循环中的 t.find(s[i]) 改为 p->find(s[i]),我们来看看运行结果
我们看到打印出的是我们删除的子树 D。
5、其他属性操作
a> 树中结点的数目,功能定义:count(node);在 node 为根结点的树中统计结点数目,实现思路如下
树的结点数目的计算示例如下:
b> 树的高度,功能定义:height(node);获取 node 为根结点的树的高度,实现思路如下
树的高度计算示例如下:
c> 树的度数,功能定义:degree(node);获取 node 为根结点的树的度数,实现思路如下
树的度计算示例
下来看看具体的源码实现
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" #include "Exception.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { protected int count(GTreeNode<T>* node) const { int ret = 0; if( node != NULL ) { ret = 1; for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { ret += count(node->child.current()); } } return ret; } int height(GTreeNode<T>* node) const { int ret = 0; if( node != NULL ) { for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { int h = height(node->child.current()); if( ret < h ) { ret = h; } } ret = ret + 1; } return ret; } int degree(GTreeNode<T>* node) const { int ret = 0; if( node != NULL ) { ret = node->child.length(); for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { int d = degree(node->child.current()); if( ret < d ) { ret = d; } } } return ret; } public: int degree() const { return degree(root()); } int count() const { return count(root()); } int height() const { return height(root()); } }; } #endif // GTREE_H
测试代码如下
#include <iostream> #include "GTree.h" using namespace std; using namespace DTLib; int main() { GTree<char> t; GTreeNode<char>* node = NULL; GTreeNode<char> root; root.value = 'A'; root.parent = NULL; t.×××ert(&root); node = t.find('A'); t.×××ert('B', node); t.×××ert('C', node); t.×××ert('D', node); node = t.find('B'); t.×××ert('E', node); t.×××ert('F', node); node = t.find('E'); t.×××ert('K', node); t.×××ert('L', node); node = t.find('C'); t.×××ert('G', node); node = t.find('G'); t.×××ert('N', node); node = t.find('D'); t.×××ert('H', node); t.×××ert('I', node); t.×××ert('J', node); node = t.find('H'); t.×××ert('M', node); cout << "t.count() : " << t.count() << endl; cout << "t.height() : " << t.height() << endl; cout << "t.degree() : " << t.degree() << endl; return 0; }
我们来看看运行结果
6、层次遍历
如何按层次遍历通用树结构中的每一个数据元素呢?树是非线性的数据结构,树的结点没有固定的编号方式。那么我们就得提供一个新的需求,为通用树结构提供新的方法,能快速遍历每一个结点。
设计思路(游标):a> 在树中定义一个游标(GTreeNode<T>*);b> 遍历开始前将游标指向根结点(root());c> 获取游标指向的数据元素;d> 通过结点中的 child 成员移动游标。提供一组遍历相关的函数,按层次访问树中的数据元素。如下
层次遍历算法:a> 原料:class LinkQueue<T>;b> 游标:LinkQueue<T>::front();c> 思想:i. begin() --> 将根节点压入队列中;ii. current() --> 访问队头元素指向的数据元素;iii. next() --> 队头元素弹出,将对头元素的孩子压入队列中(核心);iv. end() --> 判断队列是否为空。层次遍历算法示例如下
下来我们来看看具体的源码实现
GTreeNode.h 源码
#ifndef GTREENODE_H #define GTREENODE_H #include "Tree.h" #include "LinkList.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTreeNode : public TreeNode<T> { protected: bool m_flag; GTreeNode(const GTreeNode<T>&); GTreeNode<T>* operator = (const GTreeNode<T>&); void* operator new(unsigned int size) throw() { return Object::operator new(size); } public: LinkList<GTreeNode<T>*> child; GTreeNode() { m_flag = false; } bool flag() { return m_flag; } static GTreeNode<T>* NewNode() { GTreeNode<T>* ret = new GTreeNode<T>(); if( ret != NULL ) { ret->m_flag = true; } return ret; } }; } #endif // GTREENODE_H
GTree.h 源码
#ifndef GTREE_H #define GTREE_H #include "Tree.h" #include "GTreeNode.h" #include "Exception.h" #include "LinkQueue.h" namespace DTLib { template < typename T > class GTree : public Tree<T> { protected: LinkQueue<GTreeNode<T>*> m_queue; GTree(const GTree<T>&); GTree<T>* operator = (const GTree<T>&); public: GTree() { } bool begin() { bool ret = (root() != NULL); if( ret ) { m_queue.clear(); m_queue.add(root()); } return ret; } bool end() { return (m_queue.length() == 0); } bool next() { bool ret = (m_queue.length() > 0); if( ret ) { GTreeNode<T>* node = m_queue.front(); m_queue.remove(); for(node->child.move(0); !node->child.end(); node->child.next()) { m_queue.add(node->child.current()); } } return ret; } T current() { if( !end() ) { return m_queue.front()->value; } else { THROW_EXCEPTION(InvalidParameterException, "No value at current position ..."); } } }; } #endif // GTREE_H
那么在 remove 的操作中也要加上相应的队列的清除:m_queue.clear(); 测试代码如下
#include <iostream> #include "GTree.h" using namespace std; using namespace DTLib; int main() { GTree<char> t; GTreeNode<char>* node = NULL; GTreeNode<char> root; root.value = 'A'; root.parent = NULL; t.×××ert(&root); node = t.find('A'); t.×××ert('B', node); t.×××ert('C', node); t.×××ert('D', node); node = t.find('B'); t.×××ert('E', node); t.×××ert('F', node); node = t.find('E'); t.×××ert('K', node); t.×××ert('L', node); node = t.find('C'); t.×××ert('G', node); node = t.find('G'); t.×××ert('N', node); node = t.find('D'); t.×××ert('H', node); t.×××ert('I', node); t.×××ert('J', node); node = t.find('H'); t.×××ert('M', node); for(t.begin(); !t.end(); t.next()) { cout << t.current() << endl; } return 0; }
运行结果如下
我们看到已经将之前的树结构层次遍历了一遍。通过对树的学习,总结如下:1、树是一种非线性的数据结构,结点拥有唯一前驱(父结点)和若干后继(子结点);2、树的结点包含一个数据及若干指向其他结点的指针,树与结点在程序中表现为特殊的数据类型;3、基于数据元素的查找可判断值是否存在于树中,基于结点的查找可判断树中是否存在指定结点;4、插入操作是构建树的唯一操作,执行插入操作时必须指明结点间的父子关系;5、插入操作必须正确处理指向父结点的指针,插入数据元素时需要从堆空间中创建结点;6、销毁结点时需要决定是否释放对应的内存空间,工厂模式可用于“定制”堆空间中的结点,只有销毁定制结点的时候需要进行释放;7、删除操作必须完善处理父结点和子结点的关系,它的返回值为指向树的智能指针对象,函数中返回堆中的对象时使用智能指针作为返回值;8、插入操作和删除操作都依赖于查找操作;9、树的结点没有固定的编号方式,可以按照层次关系对树中的结点进行遍历;10、通过游标的思想设计遍历成员函数,遍历成员函数是相互依赖,相互配合的关系,遍历算法的核心为队列的使用。
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