剑指offer：剪绳子

题目：
给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0] k[1] … *k[m]可能的最大乘积是多少？

例子：
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

def cutRopeDP(length):
    """
    在剪绳子这个题目中，由于必须要剪一刀，因此会导致当所给的绳子长度是小于4的时候，剪完之后的长度
    小于剪之前的长度。但是我们在递推的时候，例如求f(5) = max{f(1)*f(4), f(2)*f(3)} = 6
    如果令f(3)=2的话，将导致递推公式错误，因此，对于小于4的输入，我们特殊处理。
    """
    if length < 2:  # 由于至少剪一刀，所以当长度小于2的时候无法剪，因此返回0
        return 0
    if length in (2, 3):
        return {2: 1, 3: 2}[length]

    products = [0, 1, 2, 3]  # 初始化长度小于4的输入所对应的输出的最大值
    for i in range(4, length + 1):
        max_product = 0
        # 对于每一个输入，我们需要遍历它所有可能的输出然后挑出最优的
        for j in range(1, i // 2 + 1):
            max_product = max(max_product, products[j] * products[i - j])
        products.append(max_product)

    return products[-1]

def cutRopeGreedy(length):
    """
    当n>=5的时候，2(n-2) > n and 3(n-3) > n; 3(n-3) >= 2(n-2)
    也就是说当长度大于5的时候，剪出长度为3的段数越多最后的乘积越大

    但是对于长度为4的时候，如果剪出一段长度为3，另一段长度为1，则乘积为3，小于剪出两段长度为2
    因此，当最后剩下4的时候，不是剪成1,3而是剪成2,2

    但是使用贪心方法求解最优解的时候需要非常tricky，因此优先尝试dp吧
    """
    if length < 2:  # 由于至少剪一刀，所以当长度小于2的时候无法剪，因此返回0
        return 0
    if length in (2, 3):
        return {2: 1, 3: 2}[length]
    timesOf3 = length // 3
    if length - timesOf3 * 3 == 1:
        timesOf3 -= 1
    timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) // 2
    return 3 ** timesOf3 * 2 ** timesOf2