数据结构及其变化

集合

散列表

定义：

散列表：通过将元素映射到该表中的某一位置，来提高访问速度 
装填因子：元素的个数/表的长度 
碰撞： 多个关键字映射到同一位置的现象 
碰撞检测方案：直接寻址法和链接法 
简单一致散列：每个元素散列时是独立的，与其他元素无关 
一致散列：假设每个关键字的探察序列`<0,1,2,…,m-1>的m!中排列的每一种可能性是相同的 
关键字集合静态：关键字集合存入表中后不再变化

散列函数的设计

即映射函数 。 
好的映射函数应该满足简单一致散列 
通常利用关键字分布的限制性信息来设计，称为启发式

乘法散列

h_k = ka

除法散列

h_k = k mod a

全域散列及设计

作用在大小为m的表上的一组映射函数H，其能够保证任意两个元素，最多只有|H|/m个映射函数会发生碰撞。 
这个设计的平均性能比较好

选则一个大质数p p> max(e) 
h_a,b(k)=((ak+b)mod p)mod m 
H_p,m={h_a,b:a∈Z_p^* ,b∈Z_p} 
H_p,m中共有p(p-1)个散列函数

设计证明：

即证明选择不同的值发生碰撞的概率不大于1/m 
1 对于任意两个元素k,l(k!=l) r=(ak+b)mod p s=(al+b)mod p 可证明r!=s 
2 可用r s 来表示a,b a=((r-s)((k-l)^-1 mod p)) mod p, b=(r-ak)mod p 重要的是可以证明<r,s>对和<a,b>对一一对应。 
3 可证明 给定r,p的选择数目为p-1个， 碰撞概率 r== s mod m 的数目最多为 (p-1)/m,所以碰撞概率最多为1/m

完全散列

定义：在静态集合上最坏查找是O(1)的散列技术

1 最外围函数为h(k)=((ak+b)mod p)mod m (是全域散列) 
2 散列表S的大小为m_j 相关的散列函数为h_j(k)=((a_jk+b_j)mod p)mod m_j 
3 m_j为落在该pos下的元素个数的平方

E(x)=C_n² * 1n2 = n2n2*1n2 < 1/2

开放地址法

所有的元素都放在表中。依据探查序列算法解决发生碰撞时下一个探查的位置 
该结构在删除元素时，不能将对应的位置设置为空，而是设置一个deleted的标记 
线性探查 h(k,i)=(h(k)+ci)mod m 
二次探查 h(k,i)=(h(k)+c₁i+c₂i²)mod m 
双重散列 h(k,i)=(h(k)+h₂(k)i)mod m

线

栈

后进先出的数据结构

队列

先进先出的数据结构

树

二叉树

完全二叉树:只有最下面的两层结点度能够小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树 
满二叉树:除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点二叉树 
平衡二叉树:其左右高度相差不超过1，并且都是平衡二叉树， 
各基本操作的运行时间都是O(h) h为树的高度 
avl树=二叉搜索树+平衡

红黑书

根节点和叶子节点是黑色的，两者之间黑色节点的个数是相同的。另外一种树是红树，其子节点都是黑树 此为红黑树 
最坏情况下操作时间为O(lgn) 
每个节点 (color,key,left,right和p)

左旋

长子的次子是自己的长子 
自己是长子的次子

右旋

次子的长子是自己的次子 
自己是次子的长子

增

根据二叉树找到挂靠的父节点，直接插入，颜色为红 
增调：（红黑颠倒简称倒） 
伯红 => 伯父爷倒 我=我爷 命名为(上窜) 
伯黑 => （我是长子 => 我=父 左旋）父爷倒 爷右旋

删

确定实际要删的节点y（当前节点(双子不全)或者其继任）所以y一定不是双子 
确定y的替代节点x（唯一的孩子或空 ） 
x向上取代y 
若y黑，则删调 
删调：比较麻烦，后续再提炼

B树

定义 B树是平衡(t+)叉树 t>=2 是最小度数

曾

B-TREE-SPLIT-CHILD ：当前节点中间关键字放到上面，左右分拆为两个 
B-TREE-INSERT-CHILD： 
1 当跟节点为2t-1时，拆 
2 插入元素到指定node位置，如果node满了，拆；（如果父节点满了，拆）

删

1 删掉指定元素k 如果该元素位于内节点中。如果其有合适的前继或后继e，则删掉e;否则删掉k,合并左右子节点， 
2 若合并 则进行合并后调整: 检查该节点元素个数，如果不满足，则从左右兄弟拉元素或者合并

二叉堆

父元素大于（或小于）子元素的满二叉树

二项堆

可合并堆

支持create、insert、min、pop、union五种操作（建增查删合）的数据结构

二项树

一种递归定义的有序树。二项树B₀只包含一个节点。二项树B_k 由两棵B_k-1连接而成，其中一颗树是另一棵树的左孩子。 
最小堆有序:结点的关键字大于或等于其父节点的关键字。

二项堆

最坏情况下时间复杂度为lgn 
是具有最小堆有序性质的二项树的一个集合，其中不存在根度数重复的元素 
容易证明m个元素 二项树的个数为<=lg₂m+1

斐波那契堆

除删除外其余操作时间为O(1) 
由一组最小堆有序树构成，但不一定是二项树 
树根之间是无序的，树根之间和各个树内部都是双链。

图

先序、中序、后序

最小生成树

无向加权连通图<G,E> ,选择一组E₁ ,E₁ ∈E,能连接所有顶点，求min(E₁)

kruskal算法（OElgE）

优先收集全图最小边（除非该边的两个顶点都在已知的顶点中）

Prim算法（OElgV）

收集已知顶点外围的最小边

单源最短路径

最短路径估计：对每个顶点v∈V,都设置一个属性d[v],用来描述从源点到v的最短路径的上界。 
松弛技术： 
1 初始化每个顶点v与原点u间的最短路径估计为无穷 
2 针对

bellman-ford算法（OEV）

用每个顶点松弛每条边 ,可以处理边为负数的情况

dijkstra算法（Ov²）

1 顶点集合S，将S边上最短路径的顶点u加入S 
2 使用u松弛u周围的边 
不可以处理边为负数的情况

多源最短路径

定义：计算每对顶点间的最短路径 
闭包：任何顶点之间都存在路径的有向图

floyd-warshall算法(OV₃)

用任意顶点k松弛任意两个顶点<u,v>间的边

johnson算法

依次执行Dijkstra算法

最大流

流守恒：进入某顶点的速度等于离开该顶点的速度 
问题描述：在不违背容量限制的条件下，把物质从源点传输到汇点的最大速率是多少？ 
ford-fulkerson方法依赖三种重要思想:残留网络，增广路径、割。

残留流量

C_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)

残留网络

给定一流网络G=(V,E)和流f，由f压得的G的残留网络是G_f=(V,E_f)

增广路径

增广路径为残留网络中的一条从源点到汇点的简单路径

流网络的割

将网络切成两部分的一种割法 
最小割 就是最小容量的割 
最大流最小割 最小割就是最大流

基本的ford-fulkerson算法

1 全置0 
2 依次寻找一个增广路径p,计算其最小容量c 
3 依次对该路径上的每段子路径的流加上c，每段子路径的容量减去c 
所以算法的关键是如何寻找到一个增广路径（寻增算法）

edmonds-karp算法

使用广度优先算法找增广路径

压入与重标记算法

定义 依次检查残留网络的每个顶点的相邻顶点 
两种基本操作：1 把流的余量从一个顶点压向另一个顶点 2重标记 
压入：把当前节点的余流沿着边压向邻点 
重标记：当前边为最低邻点的高度+1