这篇“C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索树怎么实现”文章的知识点大部分人都不太理解，所以小编给大家总结了以下内容，内容详细，步骤清晰，具有一定的借鉴价值，希望大家阅读完这篇文章能有所收获，下面我们一起来看看这篇“C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索树怎么实现”文章吧。
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
平衡因子= 右子树高度-左子树高度
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2N) ，搜索时间复杂度O(log2N)
节点结构：三叉链结构（左、右、父），以及平衡因子bf+构造函数（左右为空，平衡因子初始化为0）
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};AVL树在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。步骤过程：
找到插入的位置：根据二叉搜索树的做法
进行插入：判断插入的位置是parent的左还是右
更新平衡因子：如果不平衡的话，就要进行旋转
找到插入位置（比较节点大小即可）：
插入的节点key值 > 当前位置的key值，往右子树走
插入的节点key值 < 当前位置的key值，往左子树走
插入的节点key值等于当前位置的key值，不能插入，返回false
插入之后，与二叉搜索树不同的是：我们还需要去进行平衡因子的更新，调平衡：
如果新增加的在右，平衡因子加加
如果新增加的在左，平衡因子减减
更新一个结点之后我们需要去进行判断，子树的高度是否发生了变化：
1.如果parent的平衡因子是0：说明之前parent的平衡因子是1或-1，说明之前parent一边高、一边低；这次插入之后填入矮的那边，parent所在的子树高度不变，不需要继续往上更新
2.如果parent的平衡因子是1或者-1：说明之前parent的平衡因子是0，两边一样高，插入之后一边更高，parent所在的子树高度发生变化，继续往上更新
3.平衡因子是2或-2，说明之前parent的平衡因子是1或-1，现在插入严重不平衡，违反规则，需要进行旋转处理
最坏的情况下：需要一直更新到根root：
我们更新平衡因子时第一个更新的就是parent,如果parent->_bf1或parent->_bf-1需要继续往上进行平衡因子的更新，向上迭代，直到parent为空的情况：
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}当parent->_bf = 2或parent->_bf==-2时，我们就需要进行旋转了：
????如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是1时，说明右边的右边比较高，我们需要进行左单旋
????如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是-1时，说明左边的左边比较高，我们需要进行右单旋
????如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是1时，我们需要进行左右双旋
????如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是-1时，我们需要进行右左双旋
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
{
//左旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
//右旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
//左右双旋
else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1)
{
RotateLR(parent);
}
//右左双旋
else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种。
旋转规则：
1.让这颗子树左右高度差不超过1
2.旋转过程中继续保持它是搜索树
3.更新调整孩子节点的平衡因子
4.让这颗子树的高度根插入前保持一致
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
抽象图：
a/b/c是高度为h的AVL子树，代表多数情况：h>=0,其中h可以等于0、1、2…，不过都可以抽象成h，处理情况都一样：此时parent等于2，subR等于1。
具体左旋的步骤：
subRL成为parent的右子树：注意subL和parent的关系，调整parent的右以及subRL的父（subRL可能为空）
parent成为subR的左子树：调整parent的父与subR的左
subR成为相对的根节点：调整subR与ppNode：注意parent是不是整棵树的root，如果是，则让subR为_root,同时让_root->_parent置为空
更新平衡因子
左旋调整：subR的左子树值（subRL）本身就比parent的值要大，所以可以作为parent的右子树;而parent及其左子树当中结点的值本身就比subR的值小，所以可以作为subR的左子树。
**更新平衡因子bf:**subR与parent的bf都更新为0
代码实现左旋转：
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
有了前面左旋的基础，我们在来看右旋就没有那么费劲了：
a/b/c是高度为h的AVL树，右旋旋转动作：b变成60的左边，60变成30的右边，30变成子树的根。
30比60小，b值是处于30和60之间，此时作为60的左边是没有问题的。
有了这个图，在结合前面左单旋的基础，我们就能很快实现我们的右单旋代码：
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
//if(_root==parent)
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
a/d是高度为h的AVL树，b/c是高度为h-1的AVL树。
以30为轴点进行左单旋：b变成30的右边，30变成60的左边，60变成子树根
以90为轴点进行右单旋：c变成90的左边，90变成60的右边，60变成子树的根
左右双旋：以subL为轴点左旋，以parent为轴点进行右旋，在进行平衡因子的更新(最大的问题)
我们从总体的角度来看，左右双旋的结果就是：就是把subLR的左子树和右子树，分别作为subL和parent的右子树和左子树，同时subL和parent分别作为subLR的左右子树，最后让subLR作为整个子树的根
subLR的左子树作为subL的右子树：因为subLR的左子树结点比subL的大
subLR的右子树作为parent的左子树：因为subLR的右子树结点比parent的小
平衡因子的更新：重新判断（识别插入节点是在b还是在c）根据subLR平衡因子的初始情况进行分类：
如果subLR初始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0（插入在b）
如果subLR的初始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0（插入在c）
如果subLR初始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0（subLR自己新增）
代码实现：
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR ->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更新平衡因子
if (bf == -1)//b插入,subLR左子树新增
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//c插入，subLR右子树新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//subLR自己新增加
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
插入
subR为轴点进行右单旋：
parent为轴进行左单旋：
既右左双旋：
右左双旋后，根据subRL 初始平衡因子的不同分为三种情况分别对应subRL = 0、1、-1情况，与左右双旋情况类似。
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确
如果是空树，是AVL树；高度差不大于2，并且递归左右子树的高度差都不大于2，也是AVL树；判断平衡因子和该点的高度差是否相等
//求高度
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = Height(root->_left);
int rh = Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
//判断平衡
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度即log2( N) 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合.
送上源码：
#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <time.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
template <class K,class V>
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
{
//左旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
//右旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
//左右双旋
else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1)
{
RotateLR(parent);
}
//右左双旋
else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
//if(_root==parent)
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR ->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更新平衡因子
if (bf == -1)//b插入,subLR左子树新增
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//c插入，subLR右子树新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//subLR自己新增加
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = Height(root->_left);
int rh = Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
bool IsBalance()
{
return IsBalance(_root);
}
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
//测试
void TestAVLTree()
{
//int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(make_pair(e,e));
}
t.InOrder();
cout << t.IsBalance() << endl;
}
void TestAVLTree2()
{
srand(time(0));
const size_t N = 100000;
AVLTree<int, int> t;
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
size_t x = rand();
t.Insert(make_pair(x, x));
}
//t.InOrder();
cout << t.IsBalance() << endl;
}以上就是关于“C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索树怎么实现”这篇文章的内容，相信大家都有了一定的了解，希望小编分享的内容对大家有帮助，若想了解更多相关的知识内容，请关注亿速云行业资讯频道。
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