归并排序(MERGE-SORT)是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法(Divide and Conquer)的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表,称为二路归并。
(如果读者不太了解什么叫分治法,可以去看看《算法导论》第一二章。)
归并过程为:比较a[i]和a[j]的大小,若a[i]≤a[j],则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中,并令i和k分别加上1;否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到r[k]中,并令j和k分别加上1,如此循环下去,直到其中一个有序表取完,然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。归并排序的算法我们通常用递归实现,先把待排序区间[s,t]以中点二分,接着把左边子区间排序,再把右边子区间排序,最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。
代码如下:
void Merge(int* a,int left, int mid, int right, int* tem) { assert(a); assert(tem); int i = 0; int indix = mid+1; int begin = left; while(begin <= mid && indix <= right) { if(a[begin] > a[indix]) tem[i++] = a[indix++]; else tem[i++] = a[begin++]; } while(begin <= mid) tem[i++] = a[begin++]; while( indix <= right) tem[i++] = a[indix++]; for(int j = 0; j < i; j++) 将排好序的数组重新赋值给a { a[j+left] = tem[j]; } } void mergsort(int* a,int left, int right,int* tem) { assert(a); assert(tem); int mid; if(left < right) { mid = (left + right)/2; mergsort(a,left,mid,tem); mergsort(a,mid+1,right,tem); Merge(a,left,mid,right,tem); } } bool MergeSort(int* a, int n) { assert(a); int *p = new int[n]; 开辟一个跟a一样大的空间,用来存放排序好的数据。 if (p == NULL) return false; mergsort(a, 0, n - 1, p); delete[] p; return true; }
以上是递归算法
既然有递归算法,那也就有非递归的算法
void merge_sort(int * a, int length) { assert(a); int i, left_min, left_max, right_min, right_max, next; int *tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * length); if (tmp == NULL) { printf("Error: out of memory\n"); } for (i = 1; i < length; i *= 2) for (left_min = 0; left_min < length - i; left_min = right_max) { right_min = left_max = left_min + i; right_max = left_max + i; if (right_max > length) right_max = length; next = 0; while (left_min < left_max && right_min < right_max) tmp[next++] = a[left_min] > a[right_min] ? a[right_min++] : a[left_min++]; while (left_min < left_max) a[--right_min] = a[--left_max]; while (next > 0) a[--right_min] = tmp[--next]; } free(tmp); }
由此便可以看出递归和非递归在思想上是一致的,只是实现的方法不同罢了。
时间复杂度为O(nlogn) 这是该算法中最好、最坏和平均的时间性能。
空间复杂度为 O(n)
比较操作的次数介于(nlogn) / 2和nlogn - n + 1。
赋值操作的次数是(2nlogn)。归并算法的空间复杂度为:0 (n)
归并排序比较占用内存,但却是一种效率高且稳定的算法。
计数排序
计数排序是一个非基于比较的排序算法,该算法于1954年由 Harold H. Seward 提出。它的优势在于在对一定范围内的整数排序时,它的复杂度为Ο(n+k)(其中k是整数的范围),快于任何比较排序算法。
算法思想编辑
计数排序对输入的数据有附加的限制条件:
1、输入的线性表的元素属于有限偏序集S;
2、设输入的线性表的长度为n,|S|=k(表示集合S中元素的总数目为k),则k=O(n)。
在这两个条件下,计数排序的复杂性为O(n)。
计数排序的基本思想是对于给定的输入序列中的每一个元素x,确定该序列中值小于x的元素的个数(此处并非比较各元素的大小,而是通过对元素值的计数和计数值的累加来确定)。一旦有了这个信息,就可以将x直接存放到最终的输出序列的正确位置上。例如,如果输入序列中只有17个元素的值小于x的值,则x可以直接存放在输出序列的第18个位置上。当然,如果有多个元素具有相同的值时,我们不能将这些元素放在输出序列的同一个位置上,因此,上述方案还要作适当的修改。
算法过程编辑
假设输入的线性表L的长度为n,L=L1,L2,..,Ln;线性表的元素属于有限偏序集S,|S|=k且k=O(n),S={S1,S2,..Sk};则计数排序可以描述如下:
1、扫描整个集合S,对每一个Si∈S,找到在线性表L中小于等于Si的元素的个数T(Si);
2、扫描整个线性表L,对L中的每一个元素Li,将Li放在输出线性表的第T(Li)个位置上,并将T(Li)减1。
void CountSort(int* a,int size) { int max = a[0]; int min = a[0]; for(int i = 1; i<size; i++) { if(a[i] > max) max = a[i]; if(a[i] < min) min = a[i]; } int* tem = new int[max-min +1](); for(int i =0; i < size; i++) tem[a[i] - min]++; int indix = 0; for(int i = 0; i< (max-min +1); i++) { while(tem[i] > 0) { a[indix++]= i + min; --tem[i]; } } delete[] tem; }
基数排序
基数排序(radix sort)属于“分配式排序”(distribution sort),又称“桶子法”(bucket sort)或bin sort,顾名思义,它是透过键值的部份资讯,将要排序的元素分配至某些“桶”中,藉以达到排序的作用,基数排序法是属于稳定性的排序,其时间复杂度为O (nlog(r)m),其中r为所采取的基数,而m为堆数,在某些时候,基数排序法的效率高于其它的稳定性排序法。
其实他的实现,就想稀疏实现稀疏矩阵一样,读者可以在此借鉴,并且与之比较。
int Maxbit(int* a, int size) //计算数组中最大值得位数。 { int bit = 1; int num = 10; for(int i =0; i<size;i++) { if(a[i] > num) { ++bit; num *= 10; } } return bit; } void RadixSort(int* a, int size) { int indix = Maxbit(a,size); int* tem = new int[size]; //记录该值 int* count = new int[size]; //记录次数 int radix = 1; 进位所用的值 for(int i = 0; i<indix;i++) { for(int j = 0;j < size; j++) { count[j] = 0; } for(int j = 0; j<size; j++) { int k = (a[j]/radix) % 10; count[k]++; } for(int j = 1; j<size; j++) count[j] = count[j-1] +count [j]; for(int j= size-1;j>=0;j--) { int k = (a[j]/radix) % 10; tem[count[k] -1] = a[j]; count[k]--; } for(int j = 0;j < size; j++) { a[j] = tem[j]; } radix = radix * 10; } delete[] tem; delete[] count; }
以上形象图解可看上篇博文中的超链接,给予读者形象的理解和解答
这篇博文列举了归并排序,计数排序 , 基数排序,基本可以掌握其中概要,管中窥豹,不求甚解。如果你有任何建议或者批评和补充,请留言指出,不胜感激,更多参考请移步互联网。
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