数据结构 -- 红黑树

一、红黑树

1、定义：红黑树是一棵二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子简单路径上的颜色来约束，红黑树保证最长路径不超过最短路径的两倍，因而近似于平衡。

2、性质：

• 每个节点，非黑即红；

• 根节点为黑色；

• 如果一个节点是红色的，则它的2个子节点是黑色的(没有连续的红节点)；

• 对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。（每条路径的黑色节点的数量相等）；

• 每个叶子节点都是黑色的（这里的叶子节点是指的NIL节点（空节点））；

二、红黑树相关

1、红黑树保证最长路径不超过最短路径的两倍，因而近似于平衡。

    如图所示，插入节点后，为了保持红黑树，最长路径最多是最短路径的 2倍。

2、插入节点：

 注：cur为当前节点，parent父节点，grandpa祖父节点，uncle叔叔节点

（1）第一种情况

cur为红，parent为红，grandpa为黑，uncle存在且为红 --->

则将parent,uncle改为黑，grandpa改为红，然后把grandpa当成cur，继续向上调整。

（2）第二种情况

cur为红，parent为红，grandpa为黑，uncle不存在/uncle为黑 ---> 

parent为grandpa的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转;

parent、grandpa变色--parent变黑，grandpa变红。

（3）第三种情况

cur为红，parent为红，grandpa为黑，uncle不存在/uncle为黑 --> 

parent为grandpa的左孩子，cur为parent的右孩子，则针对parent做左单旋转；相反，parent为grandpa的右孩子，cur为p的左孩子，则针对parent做右单旋转,则转换成了情况2。

3、判断红黑树：根据红黑树的性质进行判定。

4、红黑树和AVL树的比较：

    红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删查改的时间复杂度都是O(lg(N))；

    红黑树的不追求完全平衡，保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了旋转的要求，所以性能跟AVL树差不多，但是红黑树实现更简单，所以实际运用中红黑树更多。

三、相关实现

1、节点

enum Color
{
	RED,BLACK,
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K,V> *_left;
	RBTreeNode<K,V> *_right;
	RBTreeNode<K,V> *_parent;
	K _key;
	V _value;
	Color _col;
	RBTreeNode(const K& key,const V& value)
		:_key(key)
		,_value(value)
		,_col(RED)
		,_left(NULL)
		,_right(NULL)
		,_parent(NULL)
	{}
};

2、红黑树及相关实现

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
public:
	RBTree()
		:_root(NULL)
	{}
	
	bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		//插入节点
		if(_root == NULL)
		{
			_root=new Node(key,value);
			return true;
		}
		Node *cur=_root;
		Node *parent=NULL;
		while(cur)
		{
			if(cur->_key < key)
			{
				parent=cur;
				cur=cur->_right;
			}
			else if(cur->_key > key)
			{
				parent=cur;
				cur=cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur=new Node(key,value);
		if(parent->_key < key)
		{
			parent->_right=new Node(key,value);
			parent->_right=parent;
		}
		else
		{
			parent->_left=new Node(key,value);
			parent->_right=parent;
		}
		//更正信息
		while(cur != _root && parent->_col == RED)
		{
			Node *grandpa=parent->_right;
			if(grandpa->_left == parent)
			{
				Node *uncle=grandpa->_right;
				if(uncle && uncle->_col == RED) // 第1种情况
				{
					parent->_col=uncle->_col=BLACK;
					grandpa->_col=RED;
					//继续向上调
					cur=grandpa;
					parent=cur->_parent;
				}
				else
				{
					// 第3种情况：双旋转 --> 单旋转
					if(cur == parent->_right)
					{
						RotateL(parent);//左单旋
						swap(cur,parent);
					}
					//第2种情况
					parent->_col=BLACK;
					grandpa->_col=RED;
					RotateR(grandpa);//右单旋
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node *uncle=grandpa->_left;
				if(uncle && uncle->_col == RED) // 第1种情况
				{
					parent->_col=uncle->_col=BLACK;
					grandpa->_col=RED;
					//继续向上调
					cur=grandpa;
					parent=cur->_parent;
				}
				else  
				{
					// 第3种情况：双旋转 --> 单旋转
					if(cur == parent->_left)
					{
						RotateR(parent);//左单旋
						swap(cur,parent);
					}
					//第2种情况
					parent->_col=BLACK;
					grandpa->_col=RED;
					RotateR(grandpa);//右单旋
					break;
				}
			}
		}
		return true;
	}

	bool IsBlance()
	{
		if(_root == NULL) return;
		if(_root->_col == RED) return false;
		int k=0;
		Node *cur=_root;
		while(cur)
		{
			if(cur->_col == BLACK)
				++k;
			cur=cur->_left;
		}
		int count=0;
		return _IsBlance(_root,k,count);
	}

protected:
	bool _IsBlance(Node *root,const int k,int count)
	{
		if(root == NULL) return true;
		//红黑树父子节点颜色不能相同
		if(root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout<<"错误：出现连续红色节点"<root->_key<<endl;
			return false;
		}
		if(root->_col == BLACK)
			++count;
		//每条路径中黑色节点数量相等
		if(root->_left == NULL && root->_right == NULL && k != count)
		{
			cout<<"错误：黑色节点数目不等"<<endl;
			return false;
		}
		return _IsBlance(root->_left,k,count) && _IsBlance(root->_right,k,count);
	}

protected:
	Node *_root;
};

3、总结：

    红黑树也是一种平衡二叉树，通过存储节点的颜色红黑，对其进行处理，使其处于平衡状态。红黑树插入节点时，主要分三种情况，按照不同情况处理。删除时和AVL树类似，只是需要注意旋转及更该节点颜色。